Aprovecho para anunciar que el blog ahora es compatible con escritura de fórmulas en $\LaTeX$. Esto también se aplica a los comentarios, así que si alguien desea hacer alguno e incluir fórmulas en él, a partir de ahora puede hacerse.
Esta demostración con trampa es corta. Veamos que $0=1$.
$$\begin{aligned}[t]
0&=0+0+0+0+\cdots=\\
&=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=\\
&=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=\text{ ( Hemos usado la asociatividad)}\\
&=1+0+0+0+\cdots=\\
&=1.
\end{aligned}$$
¿La trampa? Al estar con sumas infinitas (series) la propiedad asociativa no puede aplicarse a la ligera. Para poder hacerlo, la serie en cuestión ha de ser absolutamente convergente (esto es, que la suma de los módulos de sus términos sea finita). En nuestro caso, esto no pasaba.
Teníamos la serie $\;1-1+1-1+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$. Y esta serie no es absolutamente convergente, ya que $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}|(-1)^k|=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}1=\infty$. Por tanto el uso de la asociatividad que habíamos hecho arriba no era correcto.
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