Partimos de que $-1=-1$.
Pasamos ambos miembros a una forma de fracción, como sigue $\displaystyle\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}$.
Ahora aplicamos raíces cuadradas, y tenemos $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}$.
Esto equivale a $\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$.
Ahora, como $\sqrt{-1}$ es el número imaginario $i$, tenemos que $\displaystyle\frac{1}{i}=\frac{i}{1}$.
Eliminando las fracciones, obtenemos $i^2=1$. Pero como sabemos, $i^2=-1$, así que hemos llegado a que $-1=1$.
El fallo ha estado en que la igualdad $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ únicamente es aplicable cuando $a$ y $a$ son números positivos. En nuestro caso, había uno de los dos que no lo era.
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